Муодилаи
\[(5x^2 - 4)^2 + 6(5x^2 - 4) - 7 = 0 \qquad (1)\]
-ро бо ёрии ҷорӣ кардани тағйирёбандаи нав ҳал менамоем.
\(5x^2 - 4\)-ро бо \(y\) ишорат менамоем:
\[5x^2 - 4 = y.\]
Он гоҳ муодилаи (1) ба муодилаи квадратии дорои тағйирёбандаи \(y\) оварда мешавад:
\[y^2 + 6y - 7 = 0. \qquad (2)\]
Муодилаи (2)-ро бо методи дискриминант ҳал мекунем.
Намуди умумии муодилаи квадратӣ:
\[ay^2+by+c=0.\]
Барои муодилаи (2): \(a=1, b=6, c=-7\).
Дискриминантро меёбем:
\[D=b^2-4ac=6^2-4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64 > 0.\]
Азбаски \(D>0\), пас муодилаи (2) ду решаи ҳақиқӣ дорад, ки аз рӯи формулаи зерин ҳисоб мешаванд:
\[y_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{64}}{2\cdot 1} = \frac{-6 \pm 8}{2} = -3 \pm 4.\]
Яъне,
\(y_1=-3-4=-7\).
\(y_2=-3+4=4-3=1\).
Аз ин ҷо
\(5x^2 - 4 = -7\)
ё
\(5x^2 - 4 = 1\).
Барои муодилаи \(5x^2 - 4 = -7\) ҳосил менамоем, ки
\[5x^2 = -7 + 4\]
\[5x^2 = -(7 - 4)\]
\[5x^2 = -3\]
\[x^2 = -\frac{3}{5}.\]
Азбаски квадрати ягон адади ҳақиқӣ аз 0 хурд нест, пас муодилаи \(5x^2 - 4 = -7\) ҳалли ҳақиқӣ надорад.
Барои муодилаи \(5x^2 - 4 = 1\) ҳосил менамоем, ки
\[5x^2 = 1 + 4\]
\[5x^2 = 5\]
\[x^2 = 5 : 5\]
\[x^2 = 1\]
\[x_1 = -1, \quad x_2 = 1.\]
Пас, муодилаи (1) ду реша дорад, яъне
\[x_1 = -1, \quad x_2 = 1.\]
Санҷиш.
\(1. \quad (5\cdot (-1)^2 - 4)^2 + 6\cdot (5\cdot (-1)^2 - 4) - 7 = (5 - 4)^2 + 6\cdot (5 - 4) - 7 = 1 + 6 - 7 = 0.\)
\(2. \quad (5\cdot 1^2 - 4)^2 + 6\cdot (5\cdot 1^2 - 4) - 7 = (5 - 4)^2 + 6\cdot (5 - 4) - 7 = 1 + 6 - 7 = 0.\)
